Die Flächen von konstanter mittlerer Krümmung sind dadurch definiert, dass die Summe der reziproken Werte ihrer 2 Hauptkrümmungsradien an jeder Stelle denselben Zahlenwert besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch welche sie definiert sind, geht in eine integrierbare totale über, wenn man sich auf Rotationsflächen beschränkt, und zwar erhält man für die Meridiankurve die Gleichung . Nach Delaunay ergibt sich die Meridiankurve dieser Flächen auch als diejenige Kurve, die der Brennpunkt eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Geraden beschreibt, welche dann Rotationsaxe wird. Den 3 Kegelschnitten Ellipse, Hyperbel, Parabel entsprechend, erhält man 3 verschiedene Typen, die von Plateau in seinem Werke „Statique experimental et theorique des liquides"" Onduloid, Nodoid, Katenoid genannt wurden. Nach Laplace werden die Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten, welche der Einwirkung der Schwere entzogen sind, von Flächen konstanter mittlerer Krümmung begrenzt. Geometrisch lassen sie sich auch als gewisse Parallelflächen zu Flächen von konstantem positiven Krümmungsmaß definieren. Einen speziellen Fall davon bilden die Minimalflächen, deren mittlere Krümmung Null ist. Dieselben haben die Eigenschaft, einen kleineren Flächeninhalt zu besitzen als jede andere benachbarte Fläche, die durch eine beliebige auf ihr geführte geschlossene Randkurve hindurchgelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch als diejenigen Flächen, welche die zwischen eine gegebene Randkurve sich einspannende Flüssigkeitshaut (z. B. durch Eintauchen eines Drahtes von der Form der Kurve in Seifenlösung) annimmt. Die Minimalflächen werden sowohl durch ihre Krümmungs- wie durch ihre Asymptotenkurven in unendlich kleine Quadrate geteilt. (Die Indikatrix ist für diese Flächen eine gleichseitige Hyperbel, deshalb stehen auch die Asymptotenkurven aufeinander senkrecht). Zu jeder Minimalfläche gibt es eine zweite, ihre sog. Bonnet'sche Biegungsfläche, welche auf sie derart abwickelbar ist, dass die Krümmungslinien der einen in die Asymptotenkurven der andern übergehen. Das Verhalten der geodätischen Linien von Rotationsflächen konstanter mittlerer Krümmung ist je nach dem Winkel, unter dem eine den größten Parallelkreis trifft, ein verschiedenes. Entweder bewegt sie sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau) oder sie nähert sich asymptotisch dem Kehlkreis, d. h. Parallelkreis vom kleinsten Radius (grün), oder sie läuft über die ganze Fläche hin. Die Meridiankurve ergibt sich im Modell für a_1 = 1 cm, a_2 = 5,77 cm aus der oben angegebenen Gleichung, wenn von den 2 daselbst vorkommenden Vorzeichen das obere (positive) gewählt wird.

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